Задачи 1–10

 

Даны точки  А(х₁; у₁), В(х₂; у₂), С(х₃, у₃). Сделать чертеж и найти:

1. длину отрезка АВ;
2. уравнение прямой, проходящей через точки А и В;
3. уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно прямой АВ;
4. уравнение прямой, проходящей через вершину С перпендикулярно прямой АВ;
5. расстояние от точки С до прямой АВ.

 

1.   А (– 2; 2),	В (1; 6),	С (1; 1);
2.   А (1;–1),	В (– 2; 3),	С (–3; 1);
3.   А (2;– 4),	В (5; 0),	С (–1; 2);
4.   А (2; 0),	В (–1; 4),	С (3; 2);
5.   А (5;–1),	В (2; 3),	С (–3;– 2);
6.   А (4; 1),	В (1;–3),	С (– 4; 2);
7.   А (–1; 0),	В (2; 4),	С (3; 2);
8.   А (2; – 2),	В (–1; 2),	С (4; 2);
9.   А (3; 3),	В (0;–1),	С (4; 1);
10.   А (1; 0),	В (4; 4),	С (–1; 4).

 

Методические указания к решению задач 1 – 10

 

 

Приведём  основные формулы аналитической геометрии на плоскости.

1.Формула расстояния между двумя точками  А(х_A;у_A) и В(х_B;у_B):

 

 

2. 2. Уравнения прямой на плоскости

Прямую линию на плоскости можно задавать различными способами, приведем некоторые их них.

• Общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0,     

 

• Уравнение прямой с угловым коэффициентом k:

 

y = kx+b.

Если известны координаты двух различных точек А(х_A;у_A) и В(х_B;у_B) на прямой, то угловой коэффициент можно вычислить по формуле

• Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и проходящей через точку (x₀;y₀):

 

Если в этом уравнении менять k, то получим семейство пря­мых, проходящих через точку (x₀;y₀), которое называют «пучком прямых».

 

• Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А(х_A;у_A) и В(х_B;у_B):

.

Если , то прямая параллельна оси Oy, её уравнение: x = x_A.

Если , то прямая параллельна оси Ox, её уравнение: y = y_A.

 

3. 3. Взаимное расположение прямых.

 

Пусть k₁  и k₂ – угловые коэффициенты двух прямых.

• Условие параллельности прямых:  .
• Условие перпендикулярности прямых: .

 

4. 4. Положение точки относительно прямой.

Формула нахождения расстояния от точки М(x₀;y₀) до прямой

Ax + By + C = 0:

 

Точка М(x₀;y₀) лежит на прямой  Ax + By + C = 0 тогда и только тогда, когда ее ко­ординаты удовлетворяют уравнению прямой, то есть справедливо ра­венство  Ax₀ + By₀ + C = 0.  Очевидно, что в этом случае  d = 0.

 

Задача. Рассмотрим решение задачи, аналогичной задачам 1-10, если даны точки  А(2;1), В(–4;4), С(–1,5).

 

Решение. Начнем решение задачи с выполнения чертежа (рис. 1).  Построим точки А(2;1), В(–4;4), С(–1;5) в прямоугольной системе координат  Oxy. Прове­дем прямую АВ, уравнение которой необходимо найти, а затем через точку С проведем прямую СК параллельно АВ и прямую СD перпендикулярно АВ.

1. Длину отрезка АВ находим как расстояние между двумя точ­ками А(2;1) и В(–4;4):

 

2. Уравнение прямой АВ найдем по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки А(х_A;у_A) и В(х_B;у_B) : ,

в нашем случае:

,   то есть   .

 

Запишем пропорцию: 3×(х – 2) = – 6×(у – 1), раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, получим окончательный ответ  3х + 6у – 12 = 0  − уравнение прямой АВ.

3. Найдем угловой коэффициент прямой АВ:

 

по условию перпендикулярности прямых СD и АВ:  

Тогда    Уравнение прямой СD  запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку С:

.

Подставив в уравнение координаты точки С(– 1, 5)  и значение     получим      у –5=2(х+1);

 у –5=2х+2;

2х – у+7=0  – уравнение  прямой СD.

4. По условию параллельности прямых СЕ и АВ: . Уравнение прямой СЕ запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку С: .

Подставив в уравнение координаты точки С(– 1, 5)  и значение  ,  получим  у –5=−(х+1);

у –5=−0,5х−0,5;

  0,5х + у−4,5=0  – уравнение  прямой СЕ.

5. Расстояние от точки С до прямой АВ найдём по формуле

Уравнение прямой АВ найдено ранее (см. пункт 2): 3х + 6у – 12 = 0.

 

Тогда   .

Ответы.     1)

2)  3х + 6у – 12 = 0  − уравнение прямой АВ;

3) 2х – у+7=0  – уравнение  прямой СD;

4) 0,5х + у−4,5=0  – уравнение  прямой СЕ;

5) d = .

Введение в математический анализ

Задачи 11–20

 

Вычислить пределы функции   y=f(x), при указанном поведе­нии аргумента x.

 

11. 11. ;

 

а) ;       б );       в) ;     г) ;    д) .

 

12. 12. ;

а) ;    б );    в) ;    г) ;    д) .

 

13. 13. ;

а) ;        б) ;     в) ;    г) ;   д).

 

14. 14. ;

а) ;      б) ;       в) ;    г) ;   д).

15. 15. ;

 

а) ;      б) ;      в) ;    г) ;   д).

 

16. 16. ;

а) ;     б) ;      в) ;     г) ;    д) .

 

17. 17. ;

а) ;      б) ;    в) ;    г) ;   д) .

 

18. 18. ;

а) ;     б) ;    в) ;     г) ;   д) .

 

19. 19. ;

а) ;     б) ;     в) ;      г) ;     д) .

 

20. 20. ;

а) ;     б) ;     в) ;      г) ;     д) .

 

Методические указания к решению задач 11 – 20

 

Пределы функций, основные теоремы о пределах

 

 

1. Предел функции. Предел функции f(х) — это число А, к которо­му неограниченно приближаются значения функции при указанном стремлении аргумента х.
2. 2. Теоремы о пределах.

          Пусть существуют конечные пределы  и . Тогда справедливы  следующие утверждения:

• ;

 

• ;

 

• ,   где с – число;

 

• ,   если  .

3. 3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Бесконечно малой функцией при  называется функция , предел которой равен нулю при :   .

Если значения функции f(x) неограниченно возрастают по абсо­лютной величине при , то такую функцию называют  беско­нечно большой  при . Предел этой функции обозначают зна­ком бесконечности :   .

Теоремы о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций.

                 Если ,  то  .

Если , то

Утверждения всех вышеприведённых теорем также справедливы,  если х ® ∞ (+∞ или  −∞).

Задача.  Вычислить пределы функции     при

 

Решение. В задаче следует найти  предел частного. С этой целью необходимо вычислить пределы числителя и знаменателя  дроби, подставив  в них предельное значение  аргумента х.

 

а)  .

б) .

 

При подстановке  в числитель и знаменатель дроби убеж­даемся, что их значения равны нулю, поэтому теорема о пре­деле частного здесь не применима. В данном случае говорят, что имеется неопределенность вида .

Неопределенность вида  при  может быть раскрыта сокращением дроби на  множитель вида (х–х₀), который обращает числитель и знаменатель дроби в нуль, в данном случае на (х+4). Поэтому следует  разложить на множители числитель и знаменатель дроби.

 

3х2+10х – 8 = 0;	4х2+15х– 4 = 0;
D =	D =
3х2+10х–8 = 3(х+4)(х–2/3) =	4х2+15х – 4 = 4(х+4)(х–1/4 ) =
= (х+4)(3х–2).	= (х+4)(4х–1).

Таким образом,

в)

Здесь применима теорема о пределе частного, так как предел знаменателя существует и не равен нулю.

г)

Здесь использована теорема о связи бесконечно малой и бесконеч-но большой функций.

д) .

Пределы числителя и знаменателя дроби равны . В этом слу­чае говорят, что имеется неопределенность вида «бесконечность на бесконечность». Теорема о пределе частного здесь не применима.

Чтобы раскрыть неопределенность вида  при , каж­дый член  числителя и знаменателя дроби делят на x в  наи­высшей степени (в нашем примере на х²), отчего величина дроби не изменится, но исчезнет неопределенность.

так как

(по теореме  о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций).

Ответы.  а) ;              б) ;        в) 0;            г) ∞;            д) .

 

 

 

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

 

Задачи 21–30

 

Найти производные данных функций и их дифференциалы.

 

31.  а) ;	б) ;
в) .
32.   a) ;	б) ;
в) .
33.   а) ;	б) ;
в) .
34.   а) ;	б)  ;
в) .
35.   а) ;	б)  ;
в) .
36.  а) ;	б)  ;
в) .
37.  а) ;	б)  ;
в) .
38.  а) ;	б)  ;
в) .
39.  а) ;	б)  ;
в) .
40.  а) ;	б)  ;
в) .

 

 

Методические указания к решению задач 21 – 30

 

Производная и дифференциал функции одной переменной

1. Понятие производной.  Производной для функции  у = f(х) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции Dу к приращению аргумента Dх, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю и ука­занный предел существует:

Производная  f’(х₀) показывает скорость изменения функции  f(х) в точке х₀. Геометрически f’(х₀) = tga,  где a – угол наклона каса­тель­ной, проведенной к графику функции  f(х) в точке х₀. Нахожде­ние производной для функции  f(х) называется её дифференци­рованием.

 

2. Дифференциал функции.

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной  dx = Dх:

3. Правила дифференцирования. Пусть даны дифференцируемые функции u(x)  и  (x), тогда справедливы формулы:

 

 

Отметим также, что:

а) производная от независимой переменной равна единице:

б) производная постоянной величины с равна нулю:

в) постоянный множитель выносится за знак производной:

 

4. Производная сложной функции. Сложная функция (суперпозиция функций) – это функция вида y = f(u), где u = u(x) , то есть это функ­ция от функции.  Например,

• функция является сложной, так как ее можно представить в виде, где

• функция является сложной, так как ее можно представить в виде , где

Производную сложной функции находят по правилу

.

5. Таблица производных.

Задача.  Найти производные данных функций и их дифферен­циалы.

Решение. а) .

Приведем функцию y  к виду, удобному для дифференцирова­ния, используя правила действия со степенями

 

По правилу дифференцирования суммы и разности функций:

 

Тогда дифференциал функции y:

.

б)

 

Воспользуемся правилом дифференцирования частного

,     где  .

Тогда дифференциал функции y:

.

 

в) .

 

Функция  — сложная. Ее можно представить в виде  ,  где    Применим формулу .

 

Производную функции   находим по правилу диффе­ренцирования произведения:

,  где

Таким образом,

 

Тогда дифференциал функции y:

.

 

 

Исследование функции

 

Задачи  31–40

Исследовать функцию y = f (x) средствами дифференциаль­ного исчисления и построить её график.

 

41. . 42.  .  
42. .                     44.  .   
43. .                 46.  .
44. . 48.  .

 

49. . 50.  .

 

Методические указания к решению задач 31 – 40

 

1. Чётность, нечётность и периодичность функции.

Функция y = f(x) называется чётной, если для любых x из об­ласти определения функции справедливо равенство f(–x)= f(x), причём область определения также симметрична относительно точки 0, в этом случае график функции симметричен относительно оси Oy.

Для нечётной функции для любых x из области определения справедливо равенство f(–x)= – f(x), ее график  симметричен отно­сительно начала координат.

Функция y = f(x) называется периодической, если существует число  такое, что для любых x из области определения функ­ции справедливо  f(x+T)= f(x).

2. Проиллюстрируем на примере некоторые важные свойства гра­фика функции  (рис. 2).

Интервалы монотонности:

• функция возрастает при ;
• функция убывает при и .

Точки экстремума:

С – точка максимума (max);   A – точка минимума (min).

Интервалы выпуклости и вогнутости:

• функция выпуклая при ;
• функция вогнутая при  и при .

Точки В и D являются точками перегиба, так как в них происхо­дит смена выпуклости и вогнутости.

2. Правило исследования функции y = f(x)  на  монотонность и

точки  экстремума.

а) Вычислить первую производную .

б) Найти  критические точки, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует.

в) Определить знак производной на интервалах между критиче­скими точками в области определения функции.

г) Сделать выводы о промежутках монотонности функции со­гласно признакам  монотонности:

если  на  (a;b), то функция убывает при ,

если  на  (a;b), то функция возрастает при .

д) Сделать выводы о наличии точек экстремума согласно достаточному признаку  существования экстремума:

если при переходе слева направо через критическую точку  произ­вод­ная меняет знак  с плюса на минус, то  – точка макси­мума;   если  с минуса на плюс, то  – точка минимума.

 

3. Правило исследования функции y = f(x)  на выпуклость,

 вогнутость и точки перегиба.

а)  Вычислить вторую производную .

б) Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, эти точки называются подозрительными на перегиб.

в) Определить знак второй производной на интервалах между найденными точками в области определения функции.

г) Сделать выводы о промежутках выпуклости и вогнутости со­гласно признакам  выпуклости и вогнутости:

если  на (a;b), то график вогнутый при ,

если на (a;b), то график выпуклый при  

д) Сделать выводы о наличии точек перегиба согласно достаточ-ному условию  существования точек перегиба:      eсли при перехо­де через подозрительную на перегиб точку вторая производная меняет знак, то в этой точке имеется перегиб гра­фика функции.

 

Задача. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию   и построить ее график.

Решение. Исследование будем проводить по следующей схеме.

1. Область определения функции.

В нашем примере это множество всех действительных чисел, то есть   x (–;+).

2. Четность и нечетность функции.

Функция не обладает свойствами четности или нечетности. Сле­довательно, график функции не будет симметричен ни относи­тельно оси Oу, ни относительно начала координат.

3. Периодичность функции.

Данная функция непериодическая, так как является многочленом.

4. Непрерывность функции.

На всей области определения данная функция непрерывна  как многочлен.

5. Поведение функции на концах области определения.

Концами области определения являются  и , так как  Найдем пределы функции при .

Таким образом, слева, при ,  график функции уходит неограниченно вниз, а справа, при  , – неограниченно вверх.

6. Интервалы монотонности и точки экстремума.

Вычислим производную функции и найдем критические точки.

.

Производная существует при любых x. Решим уравнение .

Следовательно,

Точки   и  − критические. Они делят область опреде­ления функции на интервалы:  Изобразим эти интервалы на числовой оси (рис. 3).  

Поведение функции на каждом интервале определяется зна­ком производной. Для определения знака  на интервале доста­точно взять любое значение х из рассматриваемого интервала и подставить его  в производную .

а) На интервале   выберем  число, например, , и подставим его в производную: .

Так как на интервале   производная , следова­тельно, функция   y  возрастает на этом интервале (см. признаки монотон­ности).

б) На интервале  возьмем , подставим в производ­ную, получим  Следова­тельно, на интервале  функция убывает.

в) На интервале  возьмем значение . Видим, что   следовательно, на интервале  функция  возрастает.

Знаки первой производной проставим на рис. 3. При переходе через точку  производная меняет знак с  плюса на минус, значит,  является точкой максимума (см. признак экстремума).

Найдем значение функции y в этой точке:

Таким образом, график имеет максимум в точке А.

При переходе через точку  производная меняет знак с ми­ну­са на  плюс (рис. 3).  Это означает, что  – точка минимума.

В точке B(4;0) график функции имеет минимум.

 

7. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Най­дем производную второго порядка от рассматриваемой функции .  Так как   то  . Вторая производная существует при любых значениях x.  Найдем точки, где :

3x – 8 = 0 .

Значение х=8/3  является единственным, подозрительным на

пе­региб. Эта точка  делит область определения  на интер­валы     и    (см. рис. 4).

а) На интервале  выберем любое число, например,  и подставим его во вторую производную . Получим , значит, на этом интервале   график функции выпуклый (см. признак выпуклости и вогну­тости).

б) На интервале  возьмем, например,  и подста­вим во вторую производную. Получим , зна­чит, на этом интервале  график функции вогнутый.Знаки второй производной проставим на рис. 4.

Так как при переходе через точку  вторая производная   меняет знак, то   – точка перегиба (см. условие перегиба).

Таким образом, точка С – единственная точка перегиба.

8. Точки пересечения графика с осями координат.

На оси  Oу  для всех точек выполнено условие х = 0, поэтому    Получена точка пересечения с осью  Oу:  (0;0). Для всех точек на оси  Ox выполняется условие , тогда

,       то есть

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, в нашем случае  или  Решим это квадратное уравнение:

Значения функции в точках  и   были найдены ранее:

Таким образом, график функции пересекает ось Оx в точках (0;0) и (4;0).

9. Дополнительные точки.

Для более точного построения графика можно найти дополни­тельные точки. Например, найдем  значение функции y  при :

D – дополнительная точка для построения графика.

Выпишем результаты исследования функции .

1. Область определения .
3. Функция возрастает на промежутках и

убывает на промежутке.

4. Максимум функции в точке А, минимум – в точке В(4;0).
5. График выпуклый на интервале и  вогнутый на интервале .
6. Точка перегиба С
7. Точки пересечения с осями координат: (0;0), (4;0).
8. Дополнительная точка D.

Построим график функции (рис. 5).  На плоскости Oxy от­метим все характерные точки: точки пересечения с осями коор­динат, точ­ки экстремумов, точку перегиба, а также дополнитель­ную точку.

В силу непрерывности функции соединим все отмеченные точки плавной кривой, продолжив график влево вниз и вправо вверх согласно поведению функции на концах области определе­ния и учитывая характер монотонности и выпуклости графика функции.

 

Интегральное исчисление

 

Задачи 51– 60

 

Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

 

51. а)	52. а)
б)	б)
в)	в)
53. а)	54.а)
б)	б)
в)	в)
55. а)	56.а)
б)	б)
в)	в)
57. а)	58.а)
б)	б)
в)	в)
59. а)	60. а)
б)	б)
в)	в)

 

Методические указания к решению задач 51 – 60

 

Неопределенный интеграл, методы интегрирования

 

1. 1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла.

 

Функция  называется первообразной  для функции  , если  .

Множество всех первообразных функции  задается форму­лой F(x)+C,  где С – произвольное число,  и называется неоп­ределенным интегралом от функции :

 

.

 

2. Свойства неопределенного интеграла:

;

,

где  k – постоянная, отличная от нуля.

 

3. Таблица интегралов.

 

 

2.               3.

 

4.    5.
5.                7.

 

 

8.                9.

 

 

10.  11.

 

12.    13.

 

 

 

 

 

Примечание.  Формулы верны, когда переменная  х  является неза­висимой переменной, а также когда  х является функцией другой переменной: х = х(t).

 

4. Основные методы интегрирования.

Идея всех методов интегрирования заключается в приведении  искомого интеграла к табличному интегралу или сумме табличных интегралов.

1) Непосредственное интегрирование.

Интеграл приводится  к табличному виду путем алгебраиче­ских или тригонометрических преобразований.

2) Замена переменной (интегрирование подстановкой).

Сведение интеграла к табличному виду осуществляется с по­мощью подстановки  t = j(x). Тогда дифференциал  dt  равен

.

Рекомендации по введению новой переменной даны ниже в примерах.

 

5. Связь между интегрированием и дифференцированием.

Интегрирование – это операция, обратная дифференцирова­нию. Если интеграл взят правильно, то производная от интеграла равна подынтегральной функции:

.

 

Задача.       Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

 

Решение. В контрольной работе интеграл под буквой а берется мето­дом непосредственного интегрирования. При этом исполь­зу­ют­ся табличные интегралы от степенных функций:

 

Используются также правила действий со степенями.

а)  

 

 

 

 

Проверка.

Получена подинтегральная функция, что и требовалось показать.

 

Интеграл  б   в контрольной работе берется методом замены переменной (подстановкой). Приведем ряд примеров.

б.1)   

За новую переменную возьмем аргумент подинтегральной функции    и найдем  dt  по формуле:

Тогда

В последнем действии осуществлен переход к исходной пе­ре­менной  x с учетом, что .

Проверка.

 

Что и требовалось показать.

б.2)    .

За новую переменную возьмем показатель степени  .

Тогда

Проверка.

.

Получена подинтегральная функция, что и требовалось показать.

 

б.3)    .

За новую переменную возьмем функцию, стоящую в основании степени  . Тогда

 

Проверка.

.

Получена подинтегральная функция.

 

Интеграл  под буквой в в контрольной работе также берется методом замены переменной (подстановкой). Ознакомимся с при­мерами таких подстановок.

в.1)    .

За новую переменную удобно взять аргумент тригономет­риической функции, если к тому же под интегралом присутствует производная этого аргумента в качестве множи­теля.

 

Проверка.

 

в.2)    .

Здесь за новую переменную удобно принять показатель сте­пени, учитывая, что под знаком интеграла присутствует производ­ная этого показателя (с точностью до постоянного множителя).

 

Проверка.

 

в.3)    .

За новую переменную удобно взять подкоренное выражение, так как под интегралом присутствует также его производная (с точ­ностью до постоянного множителя).

 

 

 

 

Проверка.

 

 

 

Получена подинтегральная функция, что и требовалось показать.

 

в.4)    .

За новую переменную берем функцию, стоящую в основании степени, так как подынтегральное выражение содержит производ­ную этой функции (с точностью до постоянного множителя).

 

Проверка.

---

Контрольную работу на эти и другие темы Вы можете заказать у наших специалистов!

Рассчитать примерную стоимость работы!